Question

15．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+ax+4a与x轴交于点A、B，与y轴负半轴交于点C且OB=OC，点P为抛物线上的一个动点，且点P位于x轴下方，点P与点C不重合．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若△PAC的面积为$\frac{1}{2}$，求点P的坐标；
（3）若以A、B、C、P为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，对应的点P有且只有2个？

Answer 1

分析 （1）直接利用OB=OC，得出B点坐标，进而代入函数解析式求出答案；
（2）利用①如图1，P在B、C之间时，即0＜m＜4以及②如图2，点P在A、C之间时，即-2＜m＜0，进而得出答案；
（3）利用①当点P在A、C之间时，即-2＜m＜0以及②当点在B、C之间时，即0＜m＜4，结合二次函数最值求法得出答案．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+ax+4a与y轴负半轴交于点C，
∴C（0，4a），4a＜0，
∵OB=OC，
∴B（-4a，0），
∵B在抛物线上，
∴$\frac{1}{2}$（-4a）²+a•（-4a）+4a=0，
解得a=0或a=-1，
∵a＜0，
∴a=-1，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-4；

（2）设P（m，$\frac{1}{2}$m²-m-4），过点P作y轴垂线，交AC于点M，
AC的解析式为：y=-2x-4．
①如图1，P在B、C之间时，即0＜m＜4，
可得M（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{2}$m²-m-4）
∴PM=m-（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m）
=$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m
当S_△PAC=$\frac{1}{2}$时，
∴$\frac{1}{2}$|PM|×4=$\frac{1}{2}$，
∴（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m）×4=1，
解得：m=-1±$\sqrt{2}$，
∵0＜m＜4，
∴m=-1+$\sqrt{2}$，
y_P=-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$，故P（-1+$\sqrt{2}$，-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$）；

②如图2，点P在A、C之间时，即-2＜m＜0，过P作y轴平行线交于AC于D点，
∵A（-2，0），C（0，4），
∴直线AC的解析式为y=-2x-4，
∴D（m，-2m-4），
∴PD=-2m-4-（$\frac{1}{2}$m²-m-4）=-$\frac{1}{2}$m²-m，
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$PD（x_C-x_A）=-$\frac{1}{2}$m²-m，
∴-$\frac{1}{2}$m²-m=$\frac{1}{2}$，解得m=-1，
∴P（-1，-$\frac{5}{2}$），
综上，符合条件的点P有两个，分别是（-1+$\sqrt{2}$，-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$）或（-1，-$\frac{5}{2}$）；

（3）由题意可得：P（m，$\frac{1}{2}$m²-m-4），

①如图3，当点P在A、C之间时，即-2＜m＜0，连接AC，
则S_{四边形APCB}=S_△PAC+S_△ABC，
由（2）得S_△PAC=-$\frac{1}{2}$m²-m，
∵A（-2，0），B（4，0），C（0，-4），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CO=12，
∴S=-$\frac{1}{2}$m²-m+12=-$\frac{1}{2}$（m+1）²+$\frac{25}{2}$，
∵-2＜m＜0，
∴12＜S＜$\frac{25}{2}$，
此时当12＜S＜$\frac{25}{2}$，对应的点P有且只有2个；

②如图4，当点在B、C之间时，即0＜m＜4，连接PA，
则S_{四边形APCB}=S_△PAC+S_△APB，
由（2）得S_△PAC=$\frac{1}{2}$m（m+2），
又S_△PAB=$\frac{1}{2}$AB×|y_P|，
∵P在第四象限，
∴y_P＜0，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}×$AB×|y_P|=$\frac{1}{2}×6$×（-$\frac{1}{2}$m²+m+4），
∴S=S_△ACP+S_△APB=-m²+4m+12=-（m-2）²+16，
∵0＜m＜4，12＜S＜$\frac{25}{2}$，
此时当12＜S＜16时，对应的点P有且只有2个，
当S=16时，对应的点P有且只有1个，
由①②得：
当12＜S＜$\frac{25}{2}$，对应的点P有且只有2个；
当12＜S＜16时，对应的点P有且只有2个，
当S=16时，对应的点P有且只有1个；
综上所述：$\frac{25}{2}$＜S＜16时，对应的点P有且只有2个．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及二次函数最值求法以及三角形面积求法等知识，利用数形结合以及分类讨论得出符合题意的答案是解题关键．