如图.在平行四边形ABCD中.AB=4$\sqrt{2}$.∠A=45°.∠ADB=90°.点E从点B出发.以每秒1个单位的速度向终点D运动．点G在射线BD上.且EG=2BE.以EG为对角线作正方形EFGH.设点E的运动时间为t(秒)．(1)用含t的代数式表示DG的长,(2)求点H落在AD上时t的值,(3)设正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形的面积为S.求S与t之� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4$\sqrt{2}$，∠A=45°，∠ADB=90°，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度向终点D运动．点G在射线BD上，且EG=2BE（点G在E上方），以EG为对角线作正方形EFGH，设点E的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示DG的长；
（2）求点H落在AD上时t的值；
（3）设正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（4）连结FH，直接写出运动过程中线段FH扫过的图形面积．

分析（1）由于点E在射线BD上移动，所以点G有两种情况：①点G在线段BD上，②点G在BD的延长线上；
（2）正方形EFGH与平行四边形ABCD的重叠部分图形共有三种情况，需要分别计算出点H在AD上、点G与点D重合、点E与D重合所对应的t值；
（3）线段FH扫过的图形为△BHF，所以当点E与点D重合时，计算出△BHF的面积即可．

解答解：（1）由题意知：△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
由勾股定理可知：BD=4，
当点G在线段BD上时，DG=4-3t，
当点G在线段BD的延长线上时，DG=3t-4；

（2）在等腰直角△DHE中，
DE=4-t
∴DH=DE=4-t，
在等腰直角△DHG中，
DG=3t-4，
∴DH=DG=3t-4
∴4-t=3t-4
∴t=2；

（3）当点G与点D重合时，
此时，BE+EG=BD
∴t+2t=4
∴t=$\frac{4}{3}$，
当点H在AD上时，由（2）可知：t=2，
当点E与D重合时，
此时，BE=BD=4
∴t=4，
如图2，当0≤t≤$\frac{4}{3}$时，
此时，HE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EG=$\sqrt{2}$t，
∴S=HE²=2t²，
如图3，当$\frac{4}{3}＜t≤2$时，
此时，HE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GE=$\sqrt{2}$t，DE=4-t，DG=3t-4
正方形EFGH的面积为：HE²=2t²，
∴S=2t²-$\frac{1}{2}$（3t-4）²-$\frac{1}{2}$[$\frac{\sqrt{2}（4-t）}{2}$+$\sqrt{2}$t][$\sqrt{2}$t-$\frac{\sqrt{2}（4-t）}{2}$]
=$-\frac{13}{4}$t²+10t-4，
如图4，当2＜t≤4时，
此时，DE=4-t，
∴S=$\frac{1}{2}（4-t）^{2}$+$\frac{1}{4}$（4-t）²=$\frac{3}{4}$t²-6t+12，

（4）当点E到达点D时，
连接BH，BF，
∴线段FH扫过的图形为△BHF，
此时，GD=HF=8，BD=4，
∴△BHF的面积为：$\frac{1}{2}$×8×8=32．

点评本题考查动点问题，涉及到正方形和等腰直角三角形的性质，需要学生对其进行分类讨论，考查学生的分析能力和灵活运用知识的能力．

x	…	-2	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2	…
y	…	2	0.75	0	-0.25	0	-0.25	0	m	2	…

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