题目内容
如图1，矩形ABCD中，AB=10，BC=8，E是AB边上一点，过E作EF⊥CE，交AD于点F．（1）求证：△EFA∽△CEB；
（2）如果AE=6，求AF的长；
（3）在（2）条件下，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，如图2，连接CF，问在y轴上是否存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似？如果存在，写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
分析：（1）由已知矩形ABCD和EF⊥CE，得∠A=∠B=90°，∠CEF=90°，则∠BEC+∠AEF=∠AFE+∠AEF=90°，所以∠BEC=∠AFE，从而证出△EFA∽△CEB；
（2）由AE=6，AB=10，BC=8，则BE=4，所以由（1）证得的△EFA∽△CEB求出AF的长；
（3）存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似，因为由已知得∠PAB=∠FEC=90°，若有一点P，使
=
，则△EFA∽△CEB；由勾股定理可求出FE和EC，根据相似可求出点P的坐标．
（2）由AE=6，AB=10，BC=8，则BE=4，所以由（1）证得的△EFA∽△CEB求出AF的长；
（3）存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似，因为由已知得∠PAB=∠FEC=90°，若有一点P，使
| PA |
| FE |
| AB |
| EC |
解答：（1）证明：∵已知矩形ABCD和EF⊥CE，
∴∠A=∠B=90°，∠CEF=90°，
∴∠BEC+∠AEF=∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠BEC=∠AFE，
∴△EFA∽△CEB；
（2）解：已知AE=6，AB=10，BC=8，
∴BE=4，
∵△EFA∽△CEB，
∴
=
，
∴
=
，
∴AF=3；
（3）解：存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似，
因为由（1）得出∠PAB=∠FEC=90°，
在直角三角形AFE 和EBC中由勾股定理得：
FE=
=
=3
，
EC=
=
=4
，
①若△BAP∽△CEF，得：
=
∴
=
，
∴PA=7.5，
所以点P的坐标为：（0，±7.5）．
②若△PAB∽△CEF，得：
=
，
即
=
，
∴PA=
，
所以点P坐标为（0，±
）．
∴∠A=∠B=90°，∠CEF=90°，
∴∠BEC+∠AEF=∠AFE+∠AEF=90°，
∴∠BEC=∠AFE，
∴△EFA∽△CEB；
（2）解：已知AE=6，AB=10，BC=8，
∴BE=4，
∵△EFA∽△CEB，
∴
| AF |
| BE |
| AE |
| BC |
∴
| AF |
| 4 |
| 6 |
| 8 |
∴AF=3；
（3）解：存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似，
因为由（1）得出∠PAB=∠FEC=90°，
在直角三角形AFE 和EBC中由勾股定理得：
FE=
| AF2+AE2 |
| 32+62 |
| 5 |
EC=
| BE2+BC2 |
| 42+82 |
| 5 |
①若△BAP∽△CEF，得：
| BA |
| CE |
| AP |
| EF |
∴
| 10 | ||
4
|
| AP | ||
3
|
∴PA=7.5，
所以点P的坐标为：（0，±7.5）．
②若△PAB∽△CEF，得：
| PA |
| CE |
| AB |
| EF |
即
| PA | ||
4
|
| 10 | ||
3
|
∴PA=
| 40 |
| 3 |
所以点P坐标为（0，±
| 40 |
| 3 |
点评：此题考查的知识点相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质，关键是熟练运用好矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．
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| ||
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| ||
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