Question

如图，在矩形ABCD中，连接AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  3

  4

• D、不能确定

Answer 1

分析：设⊙O交AB于H，交BC于M，交AC于N，那么OM⊥BC，OH⊥AB，ON⊥AC，容易得到四边形AEOH，四边形OMCF均为矩形，四边形BMOH为正方形，设⊙O的半径为r，那么AE=CF=ON=r，即可利用已知条件证明△AEG≌△ONG和△ONI≌△CFI，由此得到S_△ONG=S_△AEG，S_△ONI=S_△CFI，然后即可得出S_□OEDF=

1

2

S_?ABCD．

解答：解：如图，设⊙O交AB于H，交BC于M，交AC于N，
那么OM⊥BC，OH⊥AB，ON⊥AC，
∴四边形AEOH，四边形OMCF均为矩形，四边形BMOH为正方形．
设⊙O的半径为r，那么AE=CF=ON=r，
在△AEG和△OGN中，∠AEG=∠ONG=90°，∠AGE=∠OGN，AE=ON=r，
∴△AEG≌△ONG，
同理△ONI≌△CFI，
∴S_△ONG=S_△AEG，S_△ONI=S_△CFI，
S_□OEDF=S_{多边形EGIFD}+S_△OGI=S_{多边形EGIFD}+S_△ONG+S_△ONI，
而S_{多边形EGIFD}+S_△AEG+S_△IFC=S_△ADC=

1

2

S_?ABCD．
∴S_□OEDF=

1

2

S_?ABCD．
故选A．

点评：本题综合考查了三角形内切圆，全等三角形的判定及应用以及矩形的性质等知识点．将所求的图形进行适当转换便能使问题变的简单．