Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2．点P、Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位的速度沿A→B→C→D的方向运动；点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C的方向运动，当P、Q两点相遇时，它们同时停止运动．设P、Q两点运动的时间为x（秒），△APQ的面积为S（平方单位）．
（1）点P、Q从出发到相遇所用的时间是

 

秒．
（2）求S与x之间的函数关系式．
（3）当S=

7

2

时，求x的值．
（4）当△AQP为锐角三角形时，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）总路程除以总速度，就可以得到时间．
（2）根据三角形的面积公式和分段情况分别求出解析式．
（3）把S的值分别代入分段函数求出值．
（4）当2＜x＜6-2

3

为锐角三角形．

解答：解：（1）（4×2+2×2）÷（2+1）=4．

（2）当0≤x≤2时，S=

1

2

•x•2x=x²．
当2＜x≤3时，S=4×2-

1

2

×2×（x-2）-

1

2

×4×（2x-4）-

1

2

×（6-x）×（6-2x）=-x²+4x．
当3＜x≤4时，S=

1

2

×2×（12-3x）=12-3x．

（3）当0≤x≤2时，x²=

7

2

，x=±

14

2

∴x=

14

2

．
当2＜x≤3时，-x²+4x=

7

2

，∴x=2±

2

2

，∴x=2+

2

2

．
当3＜x≤4时，12-3x=

7

2

，∴x=

17

6

（舍去），∴此时不存在．

（4）当△AQP为锐角三角形时，
2＜x＜6-2

3

．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，以及函数的应用，本题关键知道分段来求．