Question

3．如图，△ABC，AB=18，sinA=$\frac{1}{6}$，sinC=$\frac{1}{3}$，
（1）此三角形绕着AC旋转一周，请你描述所得的几何体，并求出上述几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁要从B点出发绕上述几何体爬一圈回到原地，求蚂蚁爬过的最短路线长．

Answer 1

分析 （1）分别计算两个圆锥的侧面积后相加即可得到结果．
（2）首先求得展开扇形的圆心角的度数，然后分两种情况得到两种结果即可比较出最短线路的长．

解答 解：（1）是一个分别以AB和BC为母线，且两个底面重合的圆锥组合在一起的几何体
过B点作BD⊥AC于点D，
∵AB=18，sinA=$\frac{1}{6}$，sinC=$\frac{1}{3}$，
∴BD=3，
∴BC=9，
∴S=π×3×18+π×3×9=81π；

（2）∵S1=$\frac{{n}_{1}{πR}_{1}^{2}}{360}$，
∴n₁=$\frac{360{S}_{1}}{{πR}_{1}^{2}}$=$\frac{360×27π}{π×{9}^{2}}$=120°，
连接BB′，过点C作BB′的垂线，垂足为E，
则由垂径定理可知BE=B′E，
∴BB′=2BE=2BC×sin60°=2×9×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．
如左边，同理可得另一最短路线为18．
∵9$\sqrt{3}$＜9×$\sqrt{4}$=9×2=18，
∴蚂蚁爬过的最短路线长为9$\sqrt{3}$
∵18＞$9\sqrt{3}$
∴d=$9\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图是解答此题的关键．