Question

1．如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，推出∠BAE=∠ADF，即可根据AAS证明△ABE≌△DAF；
（2）设EF=x，则AE=DF=x+1，根据四边形ABED的面积为6，列出方程即可解决问题；

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵DF⊥AG，BE⊥AG，
∴∠BAE+∠DAF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠ADF}\\{∠AEB=∠DFA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DAF（AAS）．

（2）设EF=x，则AE=DF=x+1，
由题意2×$\frac{1}{2}$×（x+1）×1+$\frac{1}{2}$×x×（x+1）=6，
解得x=2或-5（舍弃），
∴EF=2．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程，属于中考常考题型．