Question

9．已知△ABC是边长为1的等边三角形，△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，那么线段AD的长为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，根据AB=AC，DB=DC可证出点A、D都在BC的垂直平分线上，即AD是线段CB的垂直平分线，所以DE=$\frac{1}{2}$BC，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，再由条件AB=CB=1，可知计算出AD的长．

解答 解：根据题意画出可图形，如右图：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∵△DBC是以BC为斜边的等腰直角三角形，
∴DB=DC，
∴点D也在BC的垂直平分线上，
∴AD是线段CB的垂直平分线，
∴AD⊥CB，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$CB=$\frac{1}{2}$，AE=AB•sin60°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AD=AE±DE=$\frac{\sqrt{3}±1}{2}$
故答案为：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 此题主要考查了等腰直角三角形，等边三角形的性质，解决此题的关键是证明AD是线段CB的垂直平分线．