Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕着点C旋转90°，点A、B的对应点分别是D、E，那么tan∠ADE的值

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：根据勾股定理计算出AB=5，然后分类讨论：
当△ABC绕着点C顺时针旋转90°，点A、B的对应点分别是D、E，如图1，作EH⊥AD于H，根据旋转的性质得CE=CB=3，CD=CA=4，∠ACD=90°，则AE=AC-CE=1，可判断△ACD为等腰直角三角形，则AD=

2

CD=4

2

，∠CAD=45°，接着判断△AEH为等腰直角三角形得到AH=EH=

2

2

AE=

2

2

，于是可计算出DH=AD-AH=

7 2

2

，然后利用正切的定义可计算出tan∠ADE的值；
当△ABC绕着点C逆时针旋转90°，点A、B的对应点分别是D、E，如图2，延长AB交DE于H，根据旋转的性质得CD=CA=4，CE=CB=3，DE=AB=5，∠ACD=90°，AH⊥DE，则DB=CD-BC=1，利用面积法可计算出AH=

28

5

，则BH=AH-AB=

3

5

，再在Rt△BDH中利用勾股定理计算出DH=

4

5

，然后在Rt△ADH中利用正切的定义求解．

解答：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则AB=

BC2+AC2

=5，
当△ABC绕着点C顺时针旋转90°，点A、B的对应点分别是D、E，如图1，作EH⊥AD于H，
∴CE=CB=3，CD=CA=4，∠ACD=90°，
∴AE=AC-CE=1，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=

2

CD=4

2

，∠CAD=45°，
∴△AEH为等腰直角三角形，
∴AH=EH=

2

2

AE=

2

2

，
∴DH=AD-AH=4

2

-

2

2

=

7 2

2

，
∴tan∠ADE=

EH

DH

=

2 2

7 2 2

=

1

7

，
当△ABC绕着点C逆时针旋转90°，点A、B的对应点分别是D、E，如图2，延长AB交DE于H，
∴CD=CA=4，CE=CB=3，DE=AB=5，∠ACD=90°，AH⊥DE，
∴DB=CD-BC=1，
∵

1

2

AH•DE=

1

2

AE•CD，
∴AH=

4×7

5

=

28

5

，
∴BH=AH-AB=

3

5

，
在Rt△BDH中，∵DB=1，BH=

3

5

，
∴DH=

DB2-BH2

=

4

5

，
在Rt△ADH中，tan∠ADH=

AH

DH

=

28 5

4 5

=7，
即tan∠ADE=7，
综上所述，tan∠ADE的值为

1

7

或7．
故答案为

1

7

或7．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和锐角三角函数的定义．