Question

9．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若点M、N是边AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长与边BC相交于点M′，N′．
（1）求证：MN=M′N′；
（2）在不添加其他辅助线的情况下，直接写出图中的所有的全等三角形．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到OM=OM′，MN=M′N′；
（2）根据全等三角形的判定定理可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′．由此即可得出答案．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDO=∠M′BO}\\{∠MOD=∠M′OB}\\{DM=BM′}\end{array}\right.$，
∴△MDO≌△M′BO，
∴OM=OM′，
∵AD∥BC，
∴∠DMO=∠BM′O，
在△MON与△M′ON′中$\left\{\begin{array}{l}{∠NMO=∠N′M′O}\\{OM=OM′}\\{∠MON=∠M′ON′}\end{array}\right.$，
∴△MON≌△M′ON′，
∴MN=M′N′；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD和△M′OB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDO=∠M′BO}\\{∠MOD=∠M′OB}\\{DM=BM′}\end{array}\right.$，
∴△MDO≌△M′BO，
∴OM=OM′，
∵AD∥BC，
∴∠DMO=∠BM′O，
在△MON与△M′ON′中$\left\{\begin{array}{l}{∠NMO=∠N′M′O}\\{OM=OM′}\\{∠MON=∠M′ON′}\end{array}\right.$，
∴△MON≌△M′ON′，
∴MN=M′N′；
同理△NOD≌△N′OB，
在△ABD和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCD，
∴全等三角形一共有△MDO≌△M′BO，△MON≌△M′ON′，△NOD≌△N′OB，△ABD≌△BCD4对．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．