Question

【题目】如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（﹣3，1），点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（1，﹣），点D在x轴上，且点D在点A的右侧．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD沿x轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与AD相切，且切点为AD的中点时，连接AC，求t的值及∠MAC的度数；

（3）在（2）的条件下，当点M与AC所在的直线的距离为1时，求t的值．

【答案】（1）菱形的周长为8；（2）t=，∠MAC=105°；（3）当t=1﹣或t=1+时，圆M与AC相切．

【解析】试题分析：（1）过点B作BE⊥AD，垂足为E．由点A和点B的坐标可知：BE=，AE=1，依据勾股定理可求得AB的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M与x轴的切线为F，AD的中点为E．先求得EF的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B作BE⊥AD，垂足为E，连接MF，F为 M与AD的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明△AFM是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF的度数，故此可求得∠MAC的度数；（3）如图4所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE的长，然后依据3t+2t=5-AE可求得t的值；如图5所示：连接AM，过点作MN⊥AC，垂足为N，作ME⊥AD，垂足为E．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=，最后依据3t+2t=5+AE．列方程求解即可．

试题解析：（ ）如图1所示：过点作，垂足为，

∵， ，

∴， ，

∴，

∵四边形为菱形，

∴，

∴菱形的周长．

（）如图2所示，⊙与轴的切线为， 中点为，

∵，

∴，

∵，且为中点，

∴， ，

∴，

解得．

平移的图形如图3所示：过点作，

垂足为，连接， 为⊙与切点，

∵由（）可知， ， ，

∴，

∴，

∴，

∵四边形是菱形，

∴，

∵为切线，

∴，

∵为的中点，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

（）如图4所示：连接，过点作，垂足为，作，垂足为，

∵四边形为菱形， ，

∴．

∵、是圆的切线

∴，

∵。

∴，

∴，

∴．

如图5所示：连接，过点作，垂足为，作，垂足为，

∵四边形为菱形， ，

∴，

∴，

∵、是圆的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

综上所述，当或时，圆与相切．

点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研究点、直线和圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思路清楚，过程简捷.

【题型】解答题
【结束】
28

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N（0， ）．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．

（1）求抛物线的函数式；

（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC，DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD= S△ABC， 求点D的坐标；

（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒3个单位的速度运动到F，再沿着线段PC以每秒5个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+3（2）D点坐标为（1， ）或（3，3）（3）点P在整个运动过程中所用的最少时间2××2=3秒，此时点F的坐标为（2， ）

【解析】试题分析：（1）根据点N（0， ），得到ON=，再证明△AON∽△COB，利用相似比计算出OA=1，得到A（-1，0），然后利用交点式可求出抛物线解析式为y=-x2+x+3；

（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3，作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，设P（x，-x2+x+3），则Q（x，-x+3），再计算出DQ=-x2+3x，根据三角形面积公式得S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=-x2+6x，然后根据S△BCD=S△ABC得到-x2+6x=××（4+1）×3，然后解方程求出x即可得到D点坐标；

（3）设F（m，-x+3）利用两点间的距离公式得到EF，CF，则点P在整个运动过程中所用时t=EF+，根据不等式公式得到EF+≥2，当EF=CF时，取等号，此时t最小，解方程x2-x+13=（x）2得x1=2，x2=（舍去），于是得到点P在整个运动过程中所用的最少时间2××2=3秒，此时点F的坐标为（2， ）．

试题解析：

（1）解：∵C（0，3），

∴OC=3，

∵4CN=5ON，

∴ON= ，

∵∠OAN=∠NCM，

∴△AON∽△COB，

∴= ，即 = ，解得OA=1，

∴A（﹣1，0），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

把C（0，3）代入得a1（﹣4）=3，解得a=﹣，

∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+ x+3

（2）解：设直线BC的解析式为y=mx+n，

把C（0，3），B（4，0）代入得 ，解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

作PQ∥y轴交BC于Q，如图1，

设P（x，﹣ x2+ x+3），则Q（x，﹣x+3），

DQ=﹣x2+ x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，

∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ= 4（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，

∵S△BCD= S△ABC ，

∴﹣x2+6x= ××（4+1）×3，

整理得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴D点坐标为（1, ）或（3，3）；

（3）解：设F（x，﹣ x+3），则EF= = ，CF= = x，

点P在整个运动过程中所用时间t= EF+ ，

∴EF+ ≥2 ，当EF= CF时，取等号，此时t最小，

即x2-x+13=（x）2得x1=2，x2=（舍去），

∴点P在整个运动过程中所用的最少时间2××2=3秒，此时点F的坐标为（2， ）．

点睛: 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和不等式公式；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；会用待定系数法求函数解析式；熟练一元二次方程的解法．