题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2
），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点．
（Ⅰ）如图1，求∠DAO的大小及线段DE的长；
（Ⅱ）过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．连接OE，△OEF′是△OEF关于直线OE对称的图形，记直线EF′与射线DC的交点为H，△EHC的面积为3
．
①如图2，当点G在点H的左侧时，求GH，DG的长；
②当点G在点H的右侧时，求点F的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】（Ⅰ）30°，2；（Ⅱ）①3+
，-3+
；②F（﹣5﹣
，0）．
【解析】解：（Ⅰ）∵A（﹣2，0），D（0，2
）∴AO=2，DO=2
，∴tan∠DAO=
=
，
∴∠DAO=60°，∴∠ADO=30°，∴AD=2AO=4，∵点E为线段AD中点，∴DE=2；
（Ⅱ）①如图2，
过点E作EM⊥CD，∴CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DEsin60°=
，∴GH=6，
∵CD∥AB，∴∠DGE=∠OFE，
∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形，∴△OEF′≌△OEF，∴∠OFE=∠OF′E，
∵点E是AD的中点，∴OE=
AD=AE，
∵∠EAO=60°，∴△EAO是等边三角形，∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，
∵△OEF′≌△OEF，∴∠EOF′=∠EOA=60°，
∴∠EOF′=∠AEO，∴AD∥OF′，∴∠OF′E=∠DEH，∴∠DEH=∠DGE，
∵∠DEH=∠EDG，∴△DHE∽△DEG，∴
，∴DE2=DG×DH，
设DG=x，则DH=x+6，∴4=x（x+6），∴x1=﹣3+
，x2=﹣3﹣
，∴DG=﹣3+
．
②如图3，
过点E作EM⊥CD，∴CD∥AB，∴∠EDM=∠DAB=60°，∴EM=DEsin60°=，∴GH=6，
∵CD∥AB，∴∠DHE=∠OFE，
∵△OEF′是△OEF关于直线OE的对称图形，∴△OEF′≌△OEF，∴∠OFE=∠OF′E，
∵点E是AD的中点，∴OE=AD=AE，
∵∠EAO=60°，∴△EAO是等边三角形，∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，
∵△OEF′≌△OEF，∴∠EOF′=∠EOA=60°，∴∠EOF′=∠AEO，∴AD∥OF′，
∴∠OF′E=∠DEH，∴∠DEG=∠DHE，
∵∠DEG=∠EDH，∴△DGE∽△DEH，∴
，∴DE2=DG×DH，
设DH=x，则DG=x+6，∴4=x（x+6），∴x1=﹣3+
，x2=﹣3﹣
，
∴DH=﹣3+
．∴DG=3+
∴DG=AF=3+
，∴OF=5+
，∴F（﹣5﹣
，0）．
