Question

12．如图，等腰直角△ACB中，BC=AC=4，∠ACB=90°，点P为△ACB内一点，连BP，CP，若∠CBP=∠PCB=15°，则PA的长为4．

Answer 1

分析 以PC为边在△ACP内作等边三角形△PCQ，连接AQ，由△BCP≌△ACQ推出∠QCA=∠QAC=15°、QA=QC=QP，再证明∠PQA=150°得∠QPA=∠QAP=15°，可以得∠APC=∠ACP=75°，所以PA=AC，由此解决问题．

解答 解：如图以PC为边在△ACP内作等边三角形△PCQ，连接AQ．
∵∠ACB=90°，∠PCQ=60°，∠BCP=∠PBC=15°，
∴∠ACQ=∠ACQ=15°，PC=PB，CP=CQ，
在△BCP和△ACQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCP=∠ACQ}\\{CP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△ACQ，
∴∠CBP=∠CAQ=15°=∠ACQ，
∴QC=QA=PQ，∠CQA=180°-∠QCA-∠QAC=150°，
∵∠PQA=360°-∠PQC-∠AQC=150°，
∴∠QPA=∠QAP=15°，
∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=75°，∠PCA=90°-∠BCP=75°，
∴∠APC=∠ACP，
∴PA=AC=4．
故答案为4．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，作等边三角形△PCQ，构造全等三角形是解决问题的关键，题目有点难度．