Question

【题目】旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转交换等知识，解决下面的问题．

如图1，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N．

（1）以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，画出旋转后的△A′CM′

（2）在（1）的基础上，证明AM2+BN2=MN2．

（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD，若BC=4，CD=3，则对角线AC的长度为多少？（直接写出结果即可，但在图中保留解决问题的过程中所作辅助线、标记的有关计算数据等）

Answer 1

【答案】（1）画图见解析；（2）证明见解析；（3） 6

【解析】试题分析：(1)根据旋转的性质画出图形即可；(2)连接M'N，利用旋转的性质可得∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°，和全等三角形的判再利用SAS证明△MCN≌△M'CN，根据全等三角形的性质可得MN=M'N，在RT△BM'N中，根据勾股定理得M'N2=BN2+BM'2，即可得MN2=AM2+BN2；

(3)将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，类比（2）的方法得到DB=D'B，在RT△BCD'中，由勾股定理求得AC的 长即可．

试题解析：

解：（1）旋转后的△A'CM'如图1所示：

（2）连接M'N，

∵△ABC与△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=45°，

∴∠A=∠CBA=45°，∠ACM+∠BCN=45°，

∵△BCM'是由△ACM旋转得到的，

∴∠BCM'=∠ACM，CM=CM'，AM=BM'，∠CBM'=∠A=45°，

∴∠M'CN=∠MCN=45°，∠NBM'=90°，

∵CN=CN，

在△MCN与△M'CN中，

，

∴△MCN≌△M'CN（SAS），

∴MN=M'N，

在RT△BM'N中，根据勾股定理得：M'N2=BN2+BM'2，

∴MN2=AM2+BN2；

（3）如图2，将△ADC顺时针旋转90°到△AC'D'，连接C'C，

则△AC'C是等腰直角三角形，C'D=3，

∵∠C'=∠ACB=45°，

∴C'，D'，B，C均在同一直线上，

在△DAB与△D'AB中，

，

∴△DAB≌△D'AB（SAS），

∴DB=D'B，

在RT△BCD'中，

∵BC=4，CD=3，

∴DB=5，

∴CC'=12，

∴AC=6．