Question

【题目】已知：在中， ， ，点是的中点，点是边上一点．

（）如图，若交延长线于点，交的延长线于点，求证： ；

（）如图，若为线段上一点，且， 的延长线交于，请判断线段与的关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（）；（）且．

【解析】试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质得到：AD=CD，再证明△MAD≌△ECD，即可得到结论．

（2）证明△ACE≌△CBG，得到CE=BG，∠ACE=∠CBG，再证明BG⊥CE即可．

试题解析：（）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠DAC=45°，∴AD=CD．

又∵AH⊥CE，∴∠HAE+∠AEH=90°，

又∵∠CED+∠ECD=90°，∠AEH=∠CED（对顶角相等），∴∠HAE=∠ECD，

在△MAD和△ECD中．∵∠MAD=∠ECD，AD=CD，∠ADM=∠CDE=90°，

∴△MAD≌△ECD（ASA ），∴DE=DM．

（2）BG=CE且BG⊥CE．证明如下：

∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠CAD=∠BCD=45°．

在△ACE和△CBG中，∵AC=BC，∠CAE=∠BCG=45°，AE=CG，∴△ACE≌△CBG（SAS ），∴CE=BG，∠ACE=∠CBG．

又∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECB=90°，∴∠CBG+∠ECB=90°，∴在△BCF中，∠FCB+∠CBF=90°，∴∠CFB=90°，∴BF⊥CE即BG⊥CE，

综上所述，BG=CE且BG⊥CE．