题目内容
【题目】如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.
(1)说明方程x2-3x+2=0是倍根方程;
(2)说明:若(x-2)(mx+n)=0是倍根方程,则4m2+5mn+n2=0;
(3)如果方程ax2+bx+c=0是倍根方程,且相异两点M(1+t,s),N(4-t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c上,试说明方程ax2+bx+c=0的一个根为.
【答案】(1)理由见解析;(2)理由见解析;(3)理由见解析.
【解析】试题分析:(1)解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断;
(2)根据(x-2)(mx+n)=0是倍根方程,从而得到m+n=0,4m+n=0,进而得到4m2+5mn+n2=(4m+n)(m+n)=0;
(3)由方程ax2+bx+c=0是倍根方程,得到x1=3x2,由相异两点M(1+t,s),N(4-t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c上,通过抛物线对称轴求得x1的值.
试题解析:(1)解方程x2-3x+2=0得:x1=2,x2=1,
∴方程x2-3x+2=0是倍根方程.
(2)∵(x-2)(mx+n)=0是倍根方程,且x1=2,x2=-,
∴=-1,或
=-4,
∴m+n=0,4m+n=0,
∵4m2+5mn+n2=(4m+n)(m+n)=0,
(3)∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程,
∴设x1=2x2,
∵相异两点M(1+t,s),N(4-t,s)都在抛物线y=ax2+bx+c上,
∴抛物线的对称轴x=,
∴x1+x2=5,
∴x2+2x2=5,
∴x2=.

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