Question

5．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD=6，CD=2$\sqrt{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由CD是⊙O的切线，AD⊥CD可以得到OC∥AD，然后可以推出∠1=∠2，又OC=OA，由等边对等角得∠1=∠3，所以∠2=∠3，即AC平分∠DAB；
（2）首先证明△ADC∽△ACB，求得AC的长，根据相似三角形对应边的比相等求解．

解答 （1）证明：如右图所示，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD；
又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，即AC平分∠DAB．
（2）解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACB=∠ADC，
又∵∠1=∠3，
∴△ADC∽△ACB．
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$．
∵直角△ADC中，∠ADC=90°，AD=6，CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∴$\frac{4\sqrt{3}}{AB}$=$\frac{6}{4\sqrt{3}}$，
解得：AB=8．
∵AB是直径，
∴圆的半径是4．

点评 本题考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，正确证明△ADC∽△ACB是关键．