题目内容
如图，已知等边△ABC中，AB=4．
实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：①以线段AB为直径
作圆，圆心为O，AC、BC分别与⊙O交于点D、E；②延长AB到点P，使BP=OB，连接PE．
推理与运用：请根据上述作图解答下面问题：
（1）判断PE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点F是⊙O上一点，且点B是弧EF的中点，则弦EF的长为
实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：①以线段AB为直径
作圆，圆心为O，AC、BC分别与⊙O交于点D、E；②延长AB到点P，使BP=OB，连接PE．推理与运用：请根据上述作图解答下面问题：
（1）判断PE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点F是⊙O上一点，且点B是弧EF的中点，则弦EF的长为
2
| 3 |
2
．| 3 |
分析：实践与操作：作出AB的垂直平分线，进而得出圆心位置，再根据要求画出图象即可；
（1）利用等边三角形的性质得出△OPE是直角三角形，再利用切线的判定得出即可；
（2）利用等边三角形的判定得出△OBE是等边三角形，再利用垂径定理推论得出EF⊥OB，进而利用勾股定理得出EM的长，即可求出EF的长．
（1）利用等边三角形的性质得出△OPE是直角三角形，再利用切线的判定得出即可；
（2）利用等边三角形的判定得出△OBE是等边三角形，再利用垂径定理推论得出EF⊥OB，进而利用勾股定理得出EM的长，即可求出EF的长．
解答：
解：实践与操作：如图1所示：
推理与运用：
（1）相切，理由如下：
如图1，连接OE，
∵OB、OE是⊙O半径，
∴OB=OE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴△EOB是等边三角形，
∴EB=OB，
∵BP=OB，
∴在△OPE中，EB是OP边上的中线，且EB=
OP，
∴△OPE是直角三角形，∠OEP=90°，
∴OE⊥PE，
∴PE与⊙O相切；
（2）如图2，连接EF，交OB于点M，
∵等边△ABC中，
∴∠ABC=60°，
∵BO=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∵AB=4，
∴BO=EO=BE=2，
∵点F是⊙O上一点，且点B是
的中点，
∴EF⊥OB，
∴OM=BM=
OB=
×2=1，
∴EM=
=
=
，
∴EF=2
．
故答案为：2
．
解：实践与操作：如图1所示：推理与运用：
（1）相切，理由如下：
如图1，连接OE，
∵OB、OE是⊙O半径，
∴OB=OE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴△EOB是等边三角形，
∴EB=OB，
∵BP=OB，
∴在△OPE中，EB是OP边上的中线，且EB=
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∴△OPE是直角三角形，∠OEP=90°，
∴OE⊥PE，
∴PE与⊙O相切；
（2）如图2，连接EF，交OB于点M，
∵等边△ABC中，
∴∠ABC=60°，
∵BO=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∵AB=4，
∴BO=EO=BE=2，
∵点F是⊙O上一点，且点B是
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| EF |
∴EF⊥OB，
∴OM=BM=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴EM=
| EO2-OM2 |
| 4-1 |
| 3 |
∴EF=2
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故答案为：2
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点评：此题主要考查了垂径定理的推论以及等边三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，利用垂径定理推论得出EF⊥OB是解题关键．
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