Question

如图，已知等边三角形ABC的边长为2，AD是BC边上的高．
（1）在△ABC内部作一个矩形EFGH（如图①），其中E、H分别在边AB、AC上，FG在边BC上．
①设矩形的一边FG=x，那么EF=

 

；（用含有x的代数式表示）
②设矩形的面积为y，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？
（2）当矩形EFGH面积最大时，请在图②中画出此时点E的位置．（要求尺规作图，保留作图痕迹，并简要说明确定点E的方法）

Answer 1

分析：（1）①根据等边三角形的性质及已知可求得BD的长，再根据三角函数不难求得EF的长；
②面积=长×宽，那么就可以表示为关于x的二次函数，得出最值即可．
（2）由②得，FG=1时矩形面积最大，此时，BF=0.5，那么BE=1，那么以B为圆心，BD为半径画弧交AB于点E即可．

解答：解：（1）①设FG=x，那么FD=

x

2

，
∵BC=2，
∴BD=1．
∴BF=1-

x

2

．
∵∠B=60°，∠EFB=90°，
∴EF=

3

-

3

2

x．

3

-

3

2

x．（2分）

②y=FG•EF=x(

3

-

3

2

x)=-

3

2

x2+

3

x（6分）
=-

3

2

(x-1)2+

3

2

．（7分）
当x=1时，y有最大值，且最大值为

3

2

．（8分）

（2）画法：以B为圆心，BD长为半径画弧，交AB于点E，则点E即为所求（10分）
画图正确（12分）

点评：此题考查相似三角形的判定，等边三角形的性质及二次函数的最值等知识点的综合运用．