Question

17．如图，△ABC中AB=AC=13，BC=10，点D在边AB上，以D为圆心作⊙D，当⊙D恰好同时与边AC、BC相切时，此时⊙D的半径长为$\frac{120}{23}$．

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设⊙D的半径为r，先利用等腰三角形的性质得BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=5，则利用勾股定理可计算出AH=12，再根据切线的性质得DE=DF=r，然后根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•AH•BC=$\frac{1}{2}$DE•BC+$\frac{1}{2}$•DF•AC，即$\frac{1}{2}$×10•r+$\frac{1}{2}$×13×r=$\frac{1}{2}$×10×12，再解关于r的方程即可．

解答 解：作AH⊥BC于H，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，连接CD，如图，设⊙D的半径为r，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=5，
在Rt△ABH中，AH=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∵⊙D同时与边AC、BC相切，
∴DE=DF=r，
∵S_△ABC=S_△ADC+S_△DBC，
∴$\frac{1}{2}$•AH•BC=$\frac{1}{2}$DE•BC+$\frac{1}{2}$•DF•AC，
即$\frac{1}{2}$×10•r+$\frac{1}{2}$×13×r=$\frac{1}{2}$×10×12，
∴r=$\frac{120}{23}$，
即当⊙D恰好同时与边AC、BC相切时，此时⊙D的半径长为$\frac{120}{23}$．
故答案为$\frac{120}{23}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系或过圆心作切线的垂线段得到圆的半径．