Question

如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若DC=16cm，求AD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知得出AB∥DC，即AB∥ED以及AE∥BD进而得出即可；
（2）根据已知，∠C=60°，∠BDC=30°，得出∠DBC=90°，利用DC=16 cm，得出AD=BC=DC．
解答：（1）证明：∵∠ABC=120°，∠C=60°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥DC，即AB∥ED；…（2分）
又∠C=60°，∠E=∠C，∠BDC=30°，
∴∠E=∠BDC=30°，
∴AE∥BD，…（2分）
∴四边形ABDE是平行四边形；

（2）解：∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是梯形，
∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°，
∴∠ADC=∠BCD=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形；…（1分）
∴BC=AD，
∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，
∴∠DBC=90°，…（1分）
又DC=16 cm，
∴AD=BC=DC=8 cm．…（2分）
点评：此题主要考查了梯形的判定与平行四边形的判定，根据已知得出四边形ABCD是等腰梯形是解题关键．