Question

如图，∠AOB=45°，角内一点P，PO=10，两边上各有点Q，R（均不同于O），则△PQR的周长的最小值为

 

．当△PQR取最小值时，∠QRP=

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接AB，根据两点之间线段最短得到最小值线段，再构造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可．
根据对称的性质求得∠OMN+∠ONM=∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度数．

解答：解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．
连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．
连接OM、ON，
则OM=ON=OP=10，
∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×45°=90°，
故△MON为等腰直角三角形．
∴MN=

102+102

=10

2

．
根据对称的性质得到∠OMN=∠OPQ，∠ONM=∠OPR，
∴∠OMN+∠ONM=∠OPQ+∠OPR，
∵△MON为等腰直角三角形，
∴∠OMN+∠ONM=90°，
∴∠OPQ+∠OPR=90°，
即∠QPR=90°．
故答案为10

2

，90°．

点评：此题考查了轴对称最短路径问题，根据题意构造出对称点，转化为直角三角形的问题是解题的关键．