题目内容
5．如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点A（2，3），点B（6，3），连接AB．如果线段AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段AB的“环绕点”．（1）已知点C（3，1.5），D（4，3.5），E（1，3），则是线段AB的“环绕点”的点是点D和E；
（2）已知点P（m，n）在反比例函数y=$\frac{8}{x}$的图象上，且点P是线段AB的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围；
（3）已知⊙M上有一点P是线段AB的“环绕点”，且点M（4，1），求⊙M的半径r的取值范围．
分析 （1）根据点A、B的纵坐标相等判断出AB∥x轴，然后求出点C、D、E到AB的距离，再根据“环绕点”的定义判断；
（2）当点P在线段AB的上方，当点P在线段AB的下方，根据点P到线段AB的距离为1时，即可得到结论；
（3）当点P在线段AB的下方时，且到线段AB的最小距离是1时，当点P在线段AB的上方时，且到点A的距离是1时，即可得到结论．
解答 
解：（1）由“环绕点”的定义可知：点P到直线AB的距离d应满足：d≤1，
∵A、B两点的纵坐标都是3，
∴AB∥x轴，
∴点C到直线AB的距离为|1.5-3|=1.5＞1，
点D到直线AB的距离为|3.5-3|=0.5＜1，
点E到直线AB的距离为|3-3|=0＜1，
∴点D和E是线段AB的环绕点；
故答案为：点D和E；
（2）当点P在线段AB的上方，点P到线段AB的距离为1时，m=2；
当点P在线段AB的下方，点P到线段AB的距离为1时，m=4；
所以点P的横坐标m的取值范围为：2≤m≤4；
（3）当点P在线段AB的下方时，且到线段AB的最小距离是1时，r=1；
当点P在线段AB的上方时，且到点A的距离是1时，如图，过M作MC⊥AB，
则CM=2，AC=2，
连接MA并延长交⊙M于P，
则PA=1，
∴MP=2$\sqrt{2}$+1，即r=2$\sqrt{2}$+1．
∴⊙M的半径r的取值范围是1≤r≤2$\sqrt{2}$+1．
点评 本题考查了坐标与图形性质，读懂题目信息，理解“环绕点”的定义是解题的关键．
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