Question

16．如图，AB⊥x轴于点B（8，0），$sin∠AOB=\frac{3}{5}$，反比例函数$y=\frac{m}{x}$与OA、AB分别相交于点D、C，且点D为OA的中点，
（1）求反比例函数的解析式
（2）过点B的直线$y=\frac{3}{5}x+n$与反比例函数$y=\frac{m}{x}$图象交于第三象限内一点F，求四边形OABF的面积．

Answer 1

分析 （1）过点D作DM⊥x轴，通过正弦函数得出AB的长，即可得出A的坐标，进而得出D的坐标，代入$y=\frac{m}{x}$根据待定系数法即可求得；
（2）易求得直线BF的解析式，然后联立方程求得F的坐标，过点F作FN⊥x轴，根据S_{四边形OFBA}=S_△AOB+S_△BOF求得即可．

解答 解：（1）过点D作DM⊥x轴，
∵B（8，0），$sin∠AOB=\frac{3}{5}$，
∴AB=6，A（8，6），
又点D为OA的中点，
∴D（4，3），
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$；
（2）∵直线$y=\frac{3}{5}x+n$过B点，
∴0=$\frac{3}{5}$×8+n，解得n=-$\frac{24}{5}$，
∴BF的解析式为$y=\frac{3}{5}x-\frac{24}{5}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{5}x-\frac{24}{5}}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴F（-2，-6），
过点F作FN⊥x轴，则S_{四边形OFBA}=S_△AOB+S_△BOF=48．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，锐角三角函数定义，以及坐标与图形性质，利用了待定系数法，待定系数法是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．