Question

3．如图，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+a（a＞0）的图象与坐标轴交于A，B两点，以坐标原点O为圆心，半径为2的⊙O与直线AB相离，则a的取值范围是a＞$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先求出一次函数与坐标轴的交点A、B的坐标，再利用勾股定理计算出AB=$\sqrt{5}$a，接着利用面积法计算出OH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，然后根据直线与圆的位置关系得到OH＞2，即$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a＞2，于是解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x+a=0，解得x=2a，则A（2a，0），
当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x+a=a，则B（0，a），
在Rt△ABO中，AB=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
过O点作OH⊥AB于H，如图，
∵$\frac{1}{2}$•OH•AB=$\frac{1}{2}$•OB•OA，
∴OH=$\frac{a•2a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∵半径为2的⊙O与直线AB相离，
所以OH＞2，即$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a＞2，
所以a＞$\sqrt{5}$
故答案为a＞$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．若直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了一次函数与系数的关系．