Question

19．如图，已知在等腰△ABC中，∠C=120°
（1）尺规作图：①过点C作CD⊥AC交AB于点D．
②过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线．

Answer 1

分析 （1）利用过直线上一点作直线的垂线确定D点，再作AD的垂直平分线确定AD的中点O，然后以点O为圆心，OA为半径作⊙O即可；
（2）连结OC，根据圆周角定理，由∠ACD=90°可判断AD是⊙O的直径，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出∠A=∠B=30°，接着由OA=OC得∠ACO=∠A=30°，所以∠BCO=∠ACB-∠ACO=90°，根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线．

解答 （1）解：如图；
（2）证明：连结OC，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CA=CB，∠C=120°
∵∠A=∠B=30°，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°，
∴BC⊥OC，
∴BC是⊙O的切线．

点评 本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和切线的判定定理．