Question

6．△ABC是等边三角形，D、E分别在AB、AC上，BD=AE，M是DE的中点，连结AM，CD．求证：CD=2AM．

Answer 1

分析 作DF∥AC交BC于F，DG∥BC交AC于G，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．

解答 证明：作DF∥AC交BC于F，DG∥BC交AC于G，连接FG交CD于N，则四边形CFDG是平行四边形，
∴CN=CN=$\frac{1}{2}$CD，NF=NG，CG=DF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠BAC=∠BCA=60°，
∴∠B=∠BDF=∠BFD=60°，
∴BD=BF=DF=AE=CG，
∴AD=CF，
在△ADE与△CFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CF}\\{∠DAE=∠FCG=60°}\\{AE=CG}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFG（SAS），
∵AM、CN分别是△ADE与△CFG的对应中线，
∴AM=CN，
∴CD=CN=2AM．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明．