题目内容
2．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．
（1）当x=0时，折痕EF的长为6；
当点E与点A重合时，折痕EF的长为2$\sqrt{2}$；
（2）试探索使四边形EPFD为菱形时x的取值范围，并求当x=4时，菱形EPFD的边长．
提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助！
分析 （1）当x=0时，折痕EF的长正好等于矩形的长为6，当点E与点A重合时，画出符合要求的图形，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案．
（2）结合EF的长度得出x的取值范围，当x=4时，设PE=m，则AE=4-m，利用勾股定理得出答案．
解答 解：（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，
当AP=x=0时，点D与点P重合，即为A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=6；
当点E与点A重合时，如图1所示：
∵点D与点P重合是已知条件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DFE=45°，
即：ED=DF=2，
根据勾股定理得：EF=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴折痕EF的长为2$\sqrt{2}$；
故答案为：6，2$\sqrt{2}$；
（2）∵要使四边形EPFD为菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有点E与点A重合时，EF最长为2$\sqrt{2}$，此时x=2，
当EF最短时，即EF=BC，此时x=6，
∴x的取值范围为：2≤x≤6，
当x=4时，如图2所示，
连接DE、PF．
∵EF是折痕，
∴DE=PE，
设PE=m，则AE=4-m
∵在△ADE中，∠DAE=90°，
∴AD2+AE2=DE2，
即22+（4-m）2=m2
解得m=$\frac{5}{2}$．
此时菱形EPFD的边长为$\frac{5}{2}$．
点评 此题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、菱形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要根据勾股定理列出方程求解，才能得出结果．
练习册系列答案
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