Question

9．如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合．
（1）填空：△ADC是等腰三角形；
（2）若AB=15，AC=13，BC=14，求BC边上的高AE的长；
（3）如图②，若∠DAC=90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据折叠得到AD=AC，所以△ADC是等腰三角形；
（2）设CE=x，利用勾股定理得到方程13²-x²=15²-（14-x）²解得：x=5，在Rt△AEC中，由勾股定理即可解答；
（3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC-BD=2AE．由△ADC是等腰三角形，又∠DAC=90°，得到△ADC是等腰直角三角形又AE是CD边上的高，所以△AED与△AEC都是等腰直角三角形，即可得到CD=2AE．由BC-BD=CD，即可解答．

解答 解：（1）∵三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D重合．
∴AD=AC，
∴△ADC是等腰三角形；
故答案为：等腰．
（2）设CE=x，则BE=14-x，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE²=AC²-CE²，
∴AE²=13²-x²
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE²=AB²-BE²，
∴AE²=15²-（14-x）²
∴13²-x²=15²-（14-x）²
解得：x=5，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：$AE=\sqrt{A{C^2}-C{E^2}}=\sqrt{{{13}^2}-{5^2}}=\sqrt{144}=12$．
（3）猜想BC、BD、AE之间的数量关系为：BC-BD=2AE．
证明如下：
由（1）得：△ADC是等腰三角形，又∠DAC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形
又AE是CD边上的高，
∴DE=CE，$∠DAE=∠EAC=\frac{1}{2}∠DAC=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴△AED与△AEC都是等腰直角三角形，
∴DE=AE=EC，即CD=2AE．
∵BC-BD=CD
∴BC-BD=2AE．

点评 本题考查了等腰三角形的性质定理与判定定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的根据是判定△ADC是等腰三角形和勾股定理的应用．