题目内容
如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，且BC∥AO，其中A（6，0），B（3，
），∠AOC=60°，动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B→C→
O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标及梯形ABCO的面积；
（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）以O，P，Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
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O的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间为t（秒）．（1）求点C的坐标及梯形ABCO的面积；
（2）当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）以O，P，Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
考点：四边形综合题
专题：计算题,代数几何综合题,探究型
分析：（1）作CM⊥OA于点M，求出CM，根据勾股定理求出OM，即可求出答案；
（2）作CM⊥OA于点M，BR⊥OA于R，根据三角形的面积求出即可；
（3）分为三种情况：①当Q在BC上，分为两种情况，根据勾股定理得出方程，求出即可；②当Q在OC上，分为三种情况，求出每种情况，再进行判断，最后即可得出答案．
（2）作CM⊥OA于点M，BR⊥OA于R，根据三角形的面积求出即可；
（3）分为三种情况：①当Q在BC上，分为两种情况，根据勾股定理得出方程，求出即可；②当Q在OC上，分为三种情况，求出每种情况，再进行判断，最后即可得出答案．
解答：解：（1）作CM⊥OA于点M，
∵∠AOC=60°，
∴∠OCM=30°，
∵B（3，
），BC∥AO，
∴CM=
，
设OM=x，则OC=2x，
∴(2x)2-x2=(
)2，
解得x=1，
∴OM=1，OC=2，
∴C（1，
），
∵B（3，
），
∴BC=2，
∵A（6，0），
∴OA=6，
∴S梯形ABCO=
(2+6)×
=4
；
（2）如图，作CM⊥OA于点M，BR⊥OA于R，
∵A（6，0），B（3，
），C（1，
），
∴AR=6-3=3，BC=MR=2，
∵∠CMO=90°，∠OCM=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
当动点Q运动到OC边时，OQ=4-t，
作QG⊥OP，∴∠OQG=30°，
∴OG=
OQ=
(4-t)，
∴QG=
(4-t)，
又∵OP=2t，
∴S=
×2t×
(4-t)=-
(t2-4t)（2≤t≤3）；
（3）根据题意得出：0≤t≤3，
当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，延长BC交y轴于点D，
此时OP=2t，OQ2=(
)2+(3-t)2，PQ2=(
)2+[2t-(3-t)]2，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如图2，则∠PQD=90°，
∴四边形PQDO为矩形，
∴OP=QD，
∴2t=3-t，
解得t=1，
若∠OQP=90°，如图3，
则OQ2+PQ2=PO2，
即(3-t)2+(
)2+(3t-3)2+(
)2=4t2，
解得：t1=t2=2，
当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，
若∠OQP=90°，
∵∠POQ=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴
=
，
若∠OPQ=90°，同理：
=
，
而此时OP=2t＞4，OQ＜OC=2，
∴
≠
，
≠
，
故当Q在OC边上运动时，△OPQ不可能为直角三角形，
综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形．
∵∠AOC=60°，
∴∠OCM=30°，
∵B（3，
| 3 |
∴CM=
| 3 |
设OM=x，则OC=2x，
∴(2x)2-x2=(
| 3 |
解得x=1，
∴OM=1，OC=2，
∴C（1，
| 3 |
∵B（3，
| 3 |
∴BC=2，
∵A（6，0），
∴OA=6，
∴S梯形ABCO=
| 1 |
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（2）如图，作CM⊥OA于点M，BR⊥OA于R，
∵A（6，0），B（3，
| 3 |
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∴AR=6-3=3，BC=MR=2，
∵∠CMO=90°，∠OCM=30°，OM=1，
∴OC=2OM=2，
当动点Q运动到OC边时，OQ=4-t，
作QG⊥OP，∴∠OQG=30°，
∴OG=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴QG=
| ||
| 2 |
又∵OP=2t，
∴S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
（3）根据题意得出：0≤t≤3，
当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，延长BC交y轴于点D，
此时OP=2t，OQ2=(
| 3 |
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∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如图2，则∠PQD=90°，
∴四边形PQDO为矩形，
∴OP=QD，
∴2t=3-t，
解得t=1，
若∠OQP=90°，如图3，
则OQ2+PQ2=PO2，
即(3-t)2+(
| 3 |
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解得：t1=t2=2，
当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，
若∠OQP=90°，
∵∠POQ=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴
| OQ |
| OP |
| 1 |
| 2 |
若∠OPQ=90°，同理：
| OP |
| OQ |
| 1 |
| 2 |
而此时OP=2t＞4，OQ＜OC=2，
∴
| OQ |
| OP |
| 1 |
| 2 |
| OP |
| OQ |
| 1 |
| 2 |
故当Q在OC边上运动时，△OPQ不可能为直角三角形，
综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形．
点评：本题考查了含30°角的直角三角形，勾股定理，梯形的性质，坐标与图形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
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