Question

16．定义函数y=（m-1）x²+2mx+m+1为等差函数，下面给出等差函数的一些结论：
①当m=1时，函数图象为直线；
②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度小于2；
③当m＜1时，函数在x＜-1时，y随x的增大而减小；
④函数图象一定经过（-1，0）点．
其中正确的结论有（　　）

• A． ①④
• B． ②④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 ①把m=1代入函数解析式，根据新得到的抛物线解析式回答问题；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．

解答 解：①把m=1代入y=（m-1）x²+2mx+m+1，得
y=2x+2，
该函数为一次函数，其图象是一条直线，
故①正确；

②当m＞1时，m-1＞0，则|x₂-x₁|=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{|a|}$=$\frac{\sqrt{4{m}^{2}-4（m+1）（m-1）}}{|m-1|}$=$\frac{2}{m-1}$，
当1＜m＜2时，$\frac{2}{m-1}$＞2．
故②错误；

③∵m＜1，
∴，m-1＜0，
∴抛物线的开口方向向下，对称轴为：x=-$\frac{2m}{2（m-1）}$=$\frac{m}{1-m}$，且$\frac{m}{1-m}$＞0，
∴当x＜-1时，图象为对称轴左侧的一部分，y随x的增大而增大．
故③错误；

④把x=-1代入解析式中：y=（m-1）×（-1）²+2m×（-1）+m+1=0，即点（-1，0）在抛物线上．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①④．
故选：A．

点评 此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征，难度不大，属于基础题．