Question

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，
（1）证明：△ADE≌△DCB；
（2）连接BE，判断四边形BCDE的形状，并证明；
（3）若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是多少？

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠CDB=∠DAE，求出∠C=∠ADE=90°，AD=DC，由ASA证明△ADE≌△DCB即可；
（2）由全等三角形的性质得出DE=BC=4，BD=AE=5，再证出DE∥BC，得出四边形BCDE是平行四边形，即可得出结论；
（3）根据勾股定理求出CD，得出AD，由矩形的性质得出BE=CD，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵AE∥BD，
∴∠CDB=∠DAE，
∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴∠C=∠ADE=90°，
∴DE∥BC，
∵D为AC中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠C}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{∠DAE=∠CDB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCB（ASA）；
（2）解：四边形BCDE是矩形；理由如下：
由（1）得：△ADE≌△DCB，
∴DE=BC=4，BD=AE=5，
又∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴四边形BCDE是矩形；
（3）解：在Rt△DCB中，BC=4，BD=5，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{B{D}^{2}-B{C}^{2}}$=3，
∴AD=CD=3，
∵四边形BCDE是矩形，
∴CD=BE=3，
∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度．