Question

【题目】如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的序号是（　　）

A. ②④ B. ①③ C. ②③④ D. ①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC．

∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC．

∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC．故①正确；（含①的只有B和D，它们的区别在于有没有④．它们都是含30°的直角三角形，并且斜边是相等的）．

∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°．

∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF．

∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS）．

故选D．