Question

11．如图1，等腰直角三角形ABC的顶点B在直线l上，AB=BC，∠ABC=90°，AD垂直直线l于D，CE垂直直线l于E．
（1）求证：△ADB≌△BEC．
（2）如图2，若F是AC的中点，连接BF，请你再连接DF和EF，试判断△DEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先由等腰直角三角形得出AB=AC，再由垂直和等腰直角三角形的性质判断出∠DAB=∠CBE，从而得出结论；
（2）有等腰直角三角形得出AF=BF，从而判断△ADF≌BEF，用互余得出∠DFE=90°，即可；

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC．∠ABC=90°，
∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠BEC=∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DBA+∠CBE=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴△ADB≌△BEC，
（2）△DEF是等腰直角三角形，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，F为斜边AC中点，
∴∠BAF=∠CBF=45°，AF=BF，
∵△ADB≌△BEC，
∴AD=BE，∠BAD=∠CBE，
∴∠BAD∠+∠BAF=∠CBE+∠CBF，
∴∠DAF=∠EBF，
∴△ADF≌△BEF，
∴DF=EF，∠AFD=∠BFE，
∵∠AFD+∠BFD=90°，
∴∠BFD+∠BFE=90°，
∴∠DFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．

点评 此题是全等三角形的性质和判定，主要考查 了等腰直角三角形的性质和判定，同角或等角的余角相等，解本题的关键是△ADB≌△BEC．