Question

7．已知x₁，x₂为方程x²+4x+2=0的两实根，则x₁³+14x₂+5=-43．

Answer 1

分析 先利用一元二次方程根的定义得到x₁²=-4x₁-2，则x₁³=14x₁+8，所以x₁³+14x₂+5=-14x₁+8+14x₂+5=14（x₁+x₂）+13，然后根据根与系数的关系求解．

解答 解：∵x₁为方程x²+4x+2=0的实根，
∴x₁²+4x₁+2=0，
∴x₁²=-4x₁-2，
∴x₁³=-4x₁²-2x₁=-4（-4x₁-2）-2x₁=14x₁+8，
∵x₁，x₂为方程x²+4x+2=0的两实根，
∴x₁+x₂=-4，
∴x₁³+14x₂+5=-14x₁+8+14x₂+5=14（x₁+x₂）+13=14×（-4）+13=-43．
故答案为-43．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．