Question

14．如图，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．
（1）求双曲线解析式；
（2）根据图象直接写出，在什么范围时，一次函数的值小于反比例函数的值；
（3）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，利用图象确定出一次函数值小于反比例函数值时x的范围即可．
（3）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．

解答 解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=$\frac{1}{2}$m+2，即m=2，
∴A（2，3），
把A坐标代入y=$\frac{k}{x}$，得k=6，
则双曲线解析式为y=$\frac{6}{x}$；

（2）联立一次函数与反比例函数解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{\;}\\{y=\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{\;}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{\;}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的值小于反比例函数的值时x的范围是：x＜-6或x＞2；

（3）对于直线y=$\frac{1}{2}$x+2，令y=0，得到x=-4，即C（-4，0），
设P（x，0），可得PC=|x+4|，
∵△ACP面积为3，
∴$\frac{1}{2}$|x+4|•3=3，即|x+4|=2，
解得：x=-2或x=-6，
则P坐标为（-2，0）或（-6，0）．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．