Question

如图1，已知：直线y=

1

2

x-3分别交x轴于A，交y轴于B，抛物线C₁：y=x²+4x+b的顶点D在直线AB上．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）如图2，将抛物线C₁的顶点沿射线DA的方向平移得抛物线C₂，抛物线C₂交y轴于C，顶点为E，若CE⊥AB，求抛物线C₂的解析式；
（3）如图3，将直线AB沿y轴正方向平移t（t＞0）个单位得直线l，抛物线C₁的顶点在直线AB上平移得抛物线C₃，直线l和抛物线C₃相交于P、Q，求当t为何值时，PQ=3

5

？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线的解析式转化为顶点式，求得顶点D的坐标，把D的坐标代入，直线的解析式即可求得b的值进而求得抛物线C₁的解析式；
（2）先得出抛物线C₂的解析式为：y=（x+2-a）²-4+

a

2

，求得顶点E的坐标，令x=0，求得y=a²-

7

2

a，由于CE⊥AB，所以直线CE的斜率为-2，进而求得直线CE为：y=-2x+a²-

7

2

a，把顶点的坐标代入即可求得a的值，从而求得抛物线C₂的解析式；
（3）PQ的长与C₃移动到的位置无关，当抛物线C₃的顶点在y轴时，抛物线的解析式为：y=x²-3，先求得直线l的解析式，然后与抛物线y=x²-3组成方程组，解方程组即可求得P、Q的横坐标，根据直线的斜率求得纵坐标的差等于横坐标差的一半，根据勾股定理即可求得PQ²，与已知条件PQ=

5

4

列出等式即可求得t的值；

解答：解：（1）由y=x²+4x+b=（x+2）²-4+b，
∴顶点D的坐标（-2，-4+b），
代入y=

1

2

x-3得：-4+b=

1

2

×（-2）-3，
解得：b=0，
∴抛物线C₁的解析式为：y=x²+4x；

（2）∵抛物线C₁的顶点沿射线DA的方向平移得抛物线C₂，
∴抛物线C₁的向右平移a个单位的同时向上平移

1

2

a个单位，
∵y=x²+4x=（x+2）²-4，
∴抛物线C₂的解析式为：y=（x+2-a）²-4+

a

2

，
∴E（-2+a，-4+

a

2

），
令x=0，则y=a²-

7

2

a，
∵CE⊥AB，
∴直线CE的斜率为-2，
∴直线CE为：y=-2x+a²-

7

2

a，
∴-4+

a

2

=-2（-2+a）+a²-

7

2

a，
解得：a=2（舍去），a=4，
∴抛物线C₂的解析式为：y=（x-2）²-2；

（3）∵PQ的长与C₃移动到的位置无关，
∴当抛物线C₃的顶点在y轴时，抛物线的解析式为：y=x²-3，
∵直线AB沿y轴正方向平移t（t＞0）个单位得直线l，
∴直线l的解析式为：y=

1

2

x-3+t，
解

y= 1 2 x-3+t y=x2-3

，得：x₁=

1+ 1+16t

4

，x₂=

1- 1+16t

4

，
∵x₁-x₂=

1+16t

2

，
∴PQ²=（

1+16t

2

）²+（

1+16t

4

）²=

5(1+16t)

16

，
∵PQ=

5

4

，
∴PQ²=

25

16

，
∴

5(1+16t)

16

=

25

16

，
解得t=

1

4

，
∴当t=

1

4

时，P、Q之间的距离为

5

4

．

点评：本题考查了抛物线的顶点坐标的求法，抛物线的解析式的求法，在坐标系中平行线的性质，互相垂直的直线的性质以及勾股定理的运用等，（3）中PQ的长与抛物线所处的位置无关是本题的关键．