Question

如图，直线y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y=

k

x

（k＞0）上有一动点C（m，n），（0＜m＜4），过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接OC．
（1）求k的值．
（2）设△COD与△AOB的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式．
（3）连接AC，当第（2）问中S的值为1时，求△OAC的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题．
（2）借助函数解析式，运用字母m表示DE、OD的长度，即可解决问题．
（3）首先求出m的值，求出△COD，△AOB的面积；求出梯形ABDC的面积，即可解决问题．

解答：解：（1）设A点的坐标为（4，λ）；
由题意得：

λ= 1 2 ×4 λ= k 4

，解得：k=8，
即k的值=8．
（2）如图，设E点的坐标为E（m，n）．
则n=

1

2

m，即DE=

1

2

m；而OD=m，
∴S=

1

2

OD•DE=

1

2

m×

1

2

m=

1

4

m2，
即S关于m的函数解析式是S=

1

4

m2．
（3）当S=1时，

1

4

m2=1，解得m=2或-2（舍去），
∵点C在函数y=

8

x

的图象上，
∴CD=

8

2

=4；由（1）知：
OB=4，AB=2；BD=4-2=2；
∴S梯形ABDC=

1

2

(4+2)×2=6，
S△AOB=

1

2

×4×2=4，
S△COD=

1

2

×2×4=4；
∴S_△AOC=S_梯形ABDC+S_△COD-S_△AOB
=6+4-4=6．

点评：该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明．