Question

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形△ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形△DEF；依此作下去…，则第3个三角形的面积等于$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{64}$．

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD，然后判定出△ACD是等边三角形，同理可得被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，再根据后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形的边长的一半求出第n个三角形的边长，然后根据等边三角形的面积公式求解即可．

解答 解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∵∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
同理可得，被分成的第二个、第三个…第n个三角形都是等边三角形，
∵CD是AB的中线，EF是DB的中线，…，
∴第一个等边三角形的边长CD=DB=$\frac{1}{2}$AB=AC=a，
第二个等边三角形的边长EF=$\frac{1}{2}$DB=$\frac{1}{2}$a，
第三个等边三角形的边长NF=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{4}$a，
…
第n个等边三角形的边长为$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a，
所以，第n个三角形的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{{2}^{2n}}$，
所以第n个三角形的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$a•$\frac{1}{4}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{64}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}{a}^{2}}{64}$．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积判断出后一个三角形的边长是前一个三角形边长的一半，求出第n个等边三角形的边长是解题的关键．