Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为5，DE=4，求EB的长．

Answer 1

分析 （1）连结AD、OD，如图，根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根据等腰三角形的性质得BD=CD，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AB，加上EF⊥AC，于是OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得EF是⊙O的切线；
（2）先由OD∥AC，得到OF与FD的关系，根据勾股定理求出DF，OF，再用OD∥AE，得出$\frac{OD}{AE}=\frac{OF}{AF}$，求出即可．

解答 解：（1）证明：连结AD、OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；

（2）连接OD，AD

∵OD∥AE，
∴$\frac{OF}{OA}=\frac{FD}{DE}$，
即$\frac{OF}{5}=\frac{FD}{4}$，
设OF=5x，FD=4x，
在Rt△ODF中，OD=5，
∴OF²=FD²+25，
∴25x²=16x²+25，
∴x=$\frac{5}{3}$或x=-$\frac{5}{3}$（舍），
∴OF=$\frac{25}{3}$，FD=$\frac{20}{3}$，
∵OD∥AE，
∴$\frac{OD}{AE}=\frac{OF}{AF}$，
∴$\frac{5}{AE}=\frac{\frac{25}{3}}{5+\frac{25}{3}}$，
∴AE=8，
∴EB=AB-AE=AC-AE=10-8=2

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．