Question

6．如图，已知两条射线PQ∥MN，线段AB的两个端点A、B分别在射线PQ、MN上，且∠M=∠ABM=72°，D在线段MB上（点D不与M、B重合），PB平分∠APD，PC平分∠MPD．
（1）求∠BPC的大小；
（2）若平行移动线AB，那么$\frac{∠PBM}{∠PDM}$的值是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动线段AB的过程中，是否存在某些位置，使∠ABP＜$\frac{1}{2}$＜∠PCM？若存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得∠MPA=180°-∠M=108°，再利用角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，然后根据三角形外角性质可求出∠BPC的度数；
（2）由PQ∥MN得到∠5=∠1，则∠2=∠5，再利用三角形外角性质得到∠6=∠2+∠5，所以∠6=2∠5；
（3）由三角形外角性质得∠PCM=∠BPC+∠5=54°+∠5，加上∠ABP=72°-∠5，若∠ABP＜$\frac{1}{2}$∠PCM，则72°-∠5＜$\frac{1}{2}$（54°+∠5），可解得∠5＞30°，于是可判断当30°＜∠PBM＜72°时，∠ABP＜$\frac{1}{2}$＜∠PCM．

解答 解：（1）∵PQ∥MN，
∴∠MPA=180°-∠M=180°-72°=108°，
∵PB平分∠APD，PC平分∠MPD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}∠$APD+$\frac{1}{2}∠$MPD=$\frac{1}{2}∠$MPA=54°，
即∠BPC=54°；
（2）不变．
∵PQ∥MN，
∴∠5=∠1，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠5，
∵∠6=∠2+∠5，
∴∠6=2∠5，
∴$\frac{∠PBM}{∠PDM}$=$\frac{1}{2}$；
（3）存在．
∵∠PCM=∠BPC+∠5=54°+∠5，
∠ABP=72°-∠5，
而∠ABP＜$\frac{1}{2}$∠PCM，
∴72°-∠5＜$\frac{1}{2}$（54°+∠5），
∴∠5＞30°，
即在平行移动线段AB的过程中，当30°＜∠PBM＜72°时，∠ABP＜$\frac{1}{2}$＜∠PCM．

点评 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．也考查了平行线的性质和三角形外角性质．