Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=

3

．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）在△AME中，由于AM²=ME²+AE²，根据勾股定理的逆定理得到∠AEM=90°，由于MN∥BC，根据平行线的性质得∠ABC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
（2）连接OM，如图，设⊙O的半径是r，在Rt△OEM中，OE=AE-OA=

3

-r，ME=1，OM=r，根据勾股定理得到r²=1²+（

3

-1）²，然后解方程即可得到⊙O的半径．

解答：（1）证明：∵在△AME中，AM=2，ME=1，AE=

3

，
∴AM²=ME²+AE²，
∴△AME是直角三角形，
∴∠AEM=90°，
又∵MN∥BC，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
而AB为直径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接OM，如图，设⊙O的半径是r，
在Rt△OEM中，OE=AE-OA=

3

-r，ME=1，OM=r，
∵OM²=ME²+OE²，
∴r²=1²+（

3

-r）²，
解得r=

2 3

3

即⊙O的半径为

2 3

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．