Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC²=AD•AB；
（2）求证：AC²+BC²=AB²（即证明勾股定理）；
（3）如果AC=4，BC=9，那么AD：DB的值是16：81；
（4）如果AD=4，DB=9，那么AC：BC的值是2：3．

Answer 1

分析 （1）欲证明AC²=AD•AB，只要证明△ACD∽△ABC．
（2）同理可证BC²=BD•AB，由AC²=AD•AB．推出AC²+BC²=AD•AB+BD•AB=AB²．
（3）由BC²=BD•AB，AC²=AD•AB，推出$\frac{AD•AB}{BD•AB}$=$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$，即$\frac{AD}{BD}$=$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$，由此即可计算．
（4）用类似（3）的方法计算即可．

解答 证明：（1）∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AD•AB．

（2）同理可证BC²=BD•AB，
∵AC²=AD•AB．
∴AC²+BC²=AD•AB+BD•AB=AB²，
∴AC²+BC²=AB²．

（3）∵BC²=BD•AB，AC²=AD•AB，
∴$\frac{AD•AB}{BD•AB}$=$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{16}{81}$．
故答案为16：81

（4）∵BC²=BD•AB，AC²=AD•AB，
∴$\frac{AD•AB}{BD•AB}$=$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$，
∴$\frac{A{C}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD}{DB}$=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2}{3}$．
故答案为2：3．

点评 本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，学会利用结论解决问题．