Question

已知双曲线y=

m

x

经过△AEO的顶点A，且AE=AO=5，tan∠AOE=

4

3

，直线y=kx+b与双曲线y=

m

x

相交于A，F两点，且F点的坐标为（6，n） 
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接EF，求△AEF的面积．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）作AB⊥OE于E点，根据等腰三角形的性质得OB=EB，利用正切的定义得tan∠AOB=

AB

OB

=

4

3

，设AB=4x，则OB=3x，根据勾股定理得OA=5x，则x=1，于是AB=4，OB=3，
得到A（-3，4），把它代入反比例函数解析式求出k，接着确定F点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先求出一次函数与x轴的交点坐标C（3，0），再根据B点坐标确定E点坐标，然后利用S_△AEF=S_△AEC+S_△FEC进行计算．

解答：解：（1）作AB⊥OE于B点，如图，
∵AO=AE，
∴OB=EB，
在RtAOB中
∵tan∠AOB=

AB

OB

=

4

3

，
设AB=4x，则OB=3x，
∴OA=

AB2+OB2

=5x，
而AO=5，
∴x=1，
∴AB=4，OB=3，
∴A（-3，4），
把A（-3，4）代入y=

m

x

得m=-3×4=-12，
∴反比例函数的解析式为：y=-

12

x

，
把F（6，n）代入y=-

12

x

得6n=-12，解得n=-2，
∴F点坐标为（6，-2），
把A（-3，4）、F（6，-2）代入y=kx+b得

-3k+b=4 6k+b=-2

，解得

k=- 2 3 b=2

，
故一次函数的解析式为：y=-

2

3

x+2；

（2）如图，C点坐标为（3，0），E点坐标为（-6，0），
S_△AEF=S_△AEC+S_△FEC=

1

2

×9×4+

1

2

×9×2=18+9=27．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式．