Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线y=﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标为（﹣，，）；（3）M（0，1）．

【解析】

试题分析：（1）用待定系数法求出a，b，c，即可求解；

（2）用S=S△AOP+S△COP﹣S△AOC计算即可；

（3）设M（0，m）先判定△AOM≌△MFD，求出m即可．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．

∴，∴，

∴抛物线y=﹣x2﹣2x+3；

（2）如图所示，

设P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜0），

∵OA=3，OC=3，

∴S=S△AOP+S△COP﹣S△AOC

= OA×|yP|+OA×|xP|﹣OA×OC

=×3×（﹣x2﹣2x+3）+×3×（﹣x）﹣×3×3

=﹣x2﹣x

=﹣（x+）2+，

∴当x=﹣时，S最大=，

∴﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3=，

∴点P的坐标为（﹣，），

（3）如图所示，当△ADM是等腰直角三角形，只能∠AMD=90°，

设M（0，m），过D作DF⊥x轴，∴F（0，4），∴OM=m，PM=4﹣m，DF=1，

∴△AOM≌△MFD，∴OM=DF=1，PM=OA=3，∴m=1,4-m=3，∴m=1，

∴M（0，1）