Question

5．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当△AED与N、M、C为顶点的三角形相似时，CM的长为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 根据勾股定理求出DE的长，分△AED∽△CNM和△AED∽△CMN两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE=1，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
当△AED∽△CNM时，$\frac{AD}{CM}$=$\frac{DE}{MN}$，即$\frac{2}{CM}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$，
解得CM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
当△AED∽△CMN时，$\frac{AE}{CM}$=$\frac{DE}{MN}$，即$\frac{1}{CM}$=$\frac{\sqrt{5}}{1}$，
解得CM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查的是相似三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．