Question

10．对于每个非零自然数n，一元二次方程${x^2}-\frac{2n+1}{n（n+1）}x+\frac{1}{n（n+1）}=0$的两个根在数轴上对应的点分别为A_n，B_n，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅的值是$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 首先求出抛物线与x轴两个交点坐标，然后由题意得到A_nB_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而求出A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅的值．

解答 解：令y=${x^2}-\frac{2n+1}{n（n+1）}x+\frac{1}{n（n+1）}=0$，
∴解得x=$\frac{1}{n}$，或x=$\frac{1}{n+1}$，
∴抛物线y=x²-$\frac{2n+1}{n（n+1）}$x+$\frac{1}{n（n+1）}$与x轴的交点为（$\frac{1}{n}$，0），（$\frac{1}{n+1}$，0），
∴A_nB_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₅B₂₀₁₅=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$，
故答案为：$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是用n表示出抛物线与x轴的两个交点坐标，此题难度不大．