Question

如图，已知点O是Rt△ABC的直角边AC上的一动点，以O为圆心，OA为半径的⊙O交AB于D点，DB垂直平分线交BC于F，交BD于E．
（1）连结DF，请你判断直线DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当点O运动到OA=2OC时，恰好有点D是AE的中点，求tan∠B（∠B=30°）．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连结OD，如图，根据线段垂直平分线的性质得FB=FD，则∠B=∠FDB，而∠A=∠ODA，利用∠B+∠A=90°，即可得到∠ODA+∠FDB=90°，可判断OD⊥DF，于是根据切线的判断定理得到DF为⊙O的切线；
（2）先通过计算得到

AO

AC

=

AE

AB

，而∠A公共，则可判断△AOE∽△ACB，所以∠AOE=∠C=90°，则可判断OD为直角三角形AOE斜边上的中线，得到OD=AD，于是可证明△AOD为等边三角形，所以∠A=60°，则∠B=30°，然后利用特殊角的三角函数值求解．

解答：解：（1）直线DF与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵DB垂直平分线交BC于F，
∴FB=FD，
∴∠B=∠FDB，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∴∠ODA+∠FDB=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；
（2）连结OE，如图，
∵OA=2OC，
∴

AO

AC

=

2

3

，
∵点D是AE的中点，
∴AD=DE，
而DE=DE，
∴

AE

AB

=

2

3

，
∴

AO

AC

=

AE

AB

，
而∠A公共，
∴△AOE∽△ACB，
∴∠AOE=∠C=90°，
∴OD为直角三角形AOE斜边上的中线，
∴OD=AD，
而OA=OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴tanB=tan30°=

3

3

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．