Question

如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2．
求证：FD²=FG•FE．

Answer 1

分析：根据BE∥AC，BE=AD，可得ABED为平行四边形，FD=FB．欲证FD²=FG•FE，则证FB²=FG•FE，即证FB：FG=FE：FB．易证它们所在的三角形相似．

解答：证明：∵BE∥AC，
∴∠1=∠E．                （2分）
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠E．                    （4分）
又∵∠BFG=∠EFB，
∴△BFG∽△EFB．                           （5分）
∴

BF

EF

=

FG

BF

，
∴BF²=FG•EF．                             （6分）
∵BE∥AC，BE=AD，
∴ABED为平行四边形，FD=FB．
∴FD²=FG•FE．                              （10分）

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质进行线段转换，有一定难度．证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似．