Question

4．（1）已知：如图①，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，若线段AD平分△ABC的面积，请画出线段AD，并计算AD=4．
（2）如图②，四边形ABCD是平行四边形（AB＜BC），请你画一条直线l，使其平分?ABCD的面积，且直线l在?ABCD内部的线段最短，并说明理由．
（3）如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＞CD，是否存在过点A的一条直线将四边形ABCD的面积平分？如果存在，请画出符合条件的直线，并说明你的做法和理由，如果不存在，也请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作中线AD，利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求AD的长；
（2）经过平行四边形对角线中点的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分，当MN⊥BC时，最短；
（3）取CD 的中点M，连接AM并延长交BC的延长线于N，取BN的中点E，则A，E的直线将四边形ABCD的面积平分，得到△ADM≌△CMN，于是得到S_{四边形AECD}=S_△AEN，等量代换得到结论．

解答 解：（1）如图①，作中线AD，则AD平分△ABC的面积，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$×6=3，
∵AC=AB=5，
∴AD⊥BC，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；
故答案为：4；

（2）连接AC、BD，交于O，
过O作直线MN，交AD于M，交BC于N，当MN⊥BC时，MN是最短，如图②，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∵∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON，
∴S_△AOM=S_△CON，
同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，
∴S_△OMD=S_△ONB，S_△AOB=S_△COD，
∴S_△AOM+S_△AOB+S_△BON=S_△CON+S_△COD+S_△OMD，
即MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分；

（3）取CD 的中点M，连接AM并延长交BC的延长线于N，
取BN的中点E，则A，E的直线将四边形ABCD的面积平分，
理由：∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠N，
在△ADM与△NCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠N}\\{∠AMD=∠CMN}\\{DM=CM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CMN，
∴S_{四边形AECD}=S_△AEN，
∵E是BN的中点，
∴S_△ABE=S_△AEN，
∴S_{四边形AECD}=S_△ABE．

点评 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形、等腰三角形、梯形的性质，明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，过平行四边形对角线中点的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分．